Nata a Firenze da una famiglia di mercanti, discese, da parte materna, dalla nobile famiglia degli Alberti. A sedici anni, fu data in sposa a Matteo di Simone Strozzi, un mercante ed un uomo di lettere, appartenente alla nobile famiglia fiorentina degli Strozzi. Nel 1434, sospettato di opporsi alla famiglia dei Medici, Matteo di Simone Strozzi fu condannato all'esilio, ed Alessandra lo seguì, con i loro otto bambini. L'anno successivo il marito e tre dei figli morirono, lasciando la giovane vedova nel difficile compito di crescere, da sola, una famiglia così numerosa.
Per estinguere i debiti della famiglia, e procedere al pagamento delle tasse, la giovane donna fu costretta a vendere ed affittare gran parte delle sue proprietà, e ad entrare nel commercio di alcuni beni, vettovaglie e generi alimentari.
Ma la vita di Alessandra Macinghi Strozzi, non aveva finito di metterla alla prova. Man mano che i suoi tre figli maschi raggiunsero l'età dell'adolescenza, vennero esiliati, in virtù dell'eredità paterna. Una legge fiorentina, del 1458, inoltre, allungò il periodo dell'esilio da cinque a venticinque anni.
Da quel momento, Alessandra iniziò la missione della sua vita: vedere il ritiro del bando contro la sua famiglia. Attivò le sue conoscenze: amici di famiglia, ambasciatori, signori locali di Firenze, Napoli e Milano. Fece in modo di far sposare i suoi figli a donne fiorentine e cercò dei mariti adatti alle sue figlie.
Quando finalmente, nel 1466, il bando fu revocato, i due figli ancora in vita tornarono a Firenze, e poterono recuperare una posizione di rilievo nella vita sociale della città. Così, grazie agli immensi sforzi compiuti dalla loro madre, per mantenere i rapporti della famiglia Strozzi, con il resto dei signori italiani, i figli di Alessandra riuscirono persino ad ingraziarsi Lucrezia Tornabuoni e suo figlio Lorenzo il Magnifico.
A questa donna eccezionale, va inoltre l'illustre merito di essere l'autrice della prima collezione epistolare (1447-1470) in italiano, scritta da una donna.